微分幾何在機(jī)器人領(lǐng)域的應(yīng)用（二）深入理解三維空間變換

空間幾何變換

空間中的幾何變換分為多類，從簡(jiǎn)單，到逐漸復(fù)雜的變換，分別有如下幾種：

1.   等距變換（Isometries）。等距變換下點(diǎn)到點(diǎn)的歐式距離保持不變。剛體變換是典型的等距變換。

2.   相似變換（Similarity）。在等距變換的基礎(chǔ)上加上一個(gè)各向同性的縮放。矩陣表示上需要在旋轉(zhuǎn)矩陣部分乘以一個(gè)非零系數(shù)s。

3.   仿射變換（Affine）。是一個(gè)非奇異的線性變換加上一個(gè)平移向量組成的變換。

4.   投影變換（Projective）。任意非奇異的4×4矩陣所構(gòu)成的變換。

變換的分類和特征如下圖所示。

三維剛體的空間變換屬于種情況。如果物體不變形，那么剛體變換涵蓋物理世界中的所有情況。剛體變換包含三個(gè)平移自由度和三個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，總共6個(gè)自由度。應(yīng)用剛體變換，點(diǎn)到點(diǎn)的距離保持不變，同時(shí)矢量的點(diǎn)積和叉積保持不變。平移自由度易于理解，故本文重點(diǎn)討論旋轉(zhuǎn)分量，即旋轉(zhuǎn)矩陣R。

旋轉(zhuǎn)矩陣

在理解高維理論時(shí)，我們一般采用降維的方式理解，由易到難。首先回到二維空間的變換。二維平面中，剛體變換有三個(gè)自由度，x, y 和旋轉(zhuǎn)角θ。用矩陣的形式表示：

其中

分別為旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量。可以看到旋轉(zhuǎn)矩陣只有一個(gè)自由度，因其只有一個(gè)變量θ。

旋轉(zhuǎn)矩陣R的性質(zhì)：

1. 旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣是它的轉(zhuǎn)置矩陣，故旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣。（如果不理解逆矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣，請(qǐng)首先惡補(bǔ)線性代數(shù)）。

2. 一個(gè)矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它是正交矩陣，且它的行列式是1。正交矩陣的行列式是±1。讀者可思考行列式為-1的情況對(duì)應(yīng)什么變換。

二維旋轉(zhuǎn)矩陣可用旋轉(zhuǎn)角唯yi表示。正角表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

如下圖表示的是當(dāng)θ=20°的情況。

二位旋轉(zhuǎn)矩陣的許多性質(zhì)在三維空間中同樣滿足。

讓我們回到三維空間。旋轉(zhuǎn)可以有三個(gè)旋轉(zhuǎn)組合而成。在右手（笛卡爾）坐標(biāo)系下分別繞x，y， z軸旋轉(zhuǎn)。其旋轉(zhuǎn)矩陣分別對(duì)應(yīng)為

任意旋轉(zhuǎn)矩陣可寫作一定角度下的三個(gè)矩陣的乘積。

注意：矩陣乘法不符合交換律！故順序不同，得到的旋轉(zhuǎn)矩陣并不相同。

歐拉角

航空領(lǐng)域，一般定義飛機(jī)前后軸為x軸，沿x軸旋轉(zhuǎn)的角度一般稱為Roll，中文稱作翻滾角；兩翼方向稱作Pitch，中文稱作俯仰角；垂直地面的方向是航向角（Yaw），如下圖所示。作者覺得中文翻譯很符合愿意，更易于理解。可以記住在駕駛飛機(jī)時(shí)，如何操縱翻滾角，俯仰角，航向角。Roll，Pitch，Yaw，又稱作歐拉角。習(xí)慣上，三個(gè)歐拉角的方向是z-y-x，使用時(shí)需要特別重要，歐拉角順序錯(cuò)了，旋轉(zhuǎn)矩陣也會(huì)發(fā)生變化。

程序?qū)崿F(xiàn)：
程序使用基于C++的Eigen庫(kù)[3]。注意，Eigen庫(kù)是一個(gè)僅包含頭文件的基礎(chǔ)矩陣庫(kù)，沒有靜態(tài)或動(dòng)態(tài)庫(kù)。使用時(shí)僅需要把相關(guān)的目錄include就可以了。

再次注意：三個(gè)歐拉角的順序！

李群和李代數(shù)

三維旋轉(zhuǎn)矩陣是直觀的表示方法，但旋轉(zhuǎn)矩陣有9個(gè)變量，只有3個(gè)自由度，故信息是冗余的。旋轉(zhuǎn)矩陣在工程使用更好的表達(dá)方法。根據(jù)定義，所有的剛體變換屬于一個(gè)群（李qun，Lie Group）。剛體變換又稱作特殊歐式變換（special  Euclidean  transformation），通常寫作SE（3）。李群中的變換滿足如下特性。詳細(xì)性質(zhì)可參見李群和李代數(shù)的資料。如果只限于3D視覺或機(jī)器人學(xué)，只需記住其主要特性：

?封閉性
?相關(guān)性
?單位矩陣
?可逆

剛體變換的組合和逆變換均屬于剛體變換。
單純的旋轉(zhuǎn)變換稱作特殊正角變換（special orthogonal transformation)，通常寫作SO（3）。旋轉(zhuǎn)矩陣都是正交矩陣。
李代數(shù)通過指數(shù)映射，將旋轉(zhuǎn)矩陣的9個(gè)變量轉(zhuǎn)換為3個(gè)變量，結(jié)合三個(gè)平移向量，總共6個(gè)變量，對(duì)應(yīng)6個(gè)自由度。李代數(shù)表示法在三維重建（SFM）、VR、SLAM等位姿估計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用的較多。李代數(shù)有基于Eigen的Sophus庫(kù)[4]可使用，方便完成指數(shù)映射。

羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式

（Rodriguez’s Rotation Formula）

旋轉(zhuǎn)矩陣有一個(gè)更有效的表達(dá)方法，即由一個(gè)單位向量和一個(gè)旋轉(zhuǎn)角生成。每一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣均可轉(zhuǎn)化為向量和角（又稱軸-角）的表達(dá)方式。根據(jù)公式，單位向量用表示，旋轉(zhuǎn)的角度是θ，那么相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣是：

此矩陣可簡(jiǎn)化為如下公式：

具體點(diǎn)符號(hào)定義可參見相關(guān)文獻(xiàn)。單純環(huán)繞x，y或z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)矩陣是羅德里格斯公式的特殊形式。讀者可以把上式中的單位向量替換為（0,0,1）進(jìn)行驗(yàn)證。雖然公式復(fù)雜，但程序?qū)嵺`比較方便。利用Eigen庫(kù)中的Eigen::AngleAxisf（旋轉(zhuǎn)向量）可以直接獲得。

四元數(shù)(Quternions)

四元素可看作一種特殊的復(fù)數(shù)，由一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部構(gòu)成。四元素的表示方法同旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角表示方法是等價(jià)的。根據(jù)羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式，任何一個(gè)旋轉(zhuǎn)都可以表達(dá)成軸角的表達(dá)法。四元素可以更方便的表達(dá)出旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角。單位歐拉向量可表示為：

根據(jù)歐拉公式的擴(kuò)展，四元素可表示為

四元素分為實(shí)部和虛部，實(shí)部只跟旋轉(zhuǎn)角有關(guān)。虛部有單位向量和旋轉(zhuǎn)角共同計(jì)算得來。

四元數(shù)的求逆可采用復(fù)數(shù)的共軛（即虛部取反）方式求得

同時(shí)，四元數(shù)更易于做線性插值（Slerp）。實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，使用四元素做旋轉(zhuǎn)矩陣的計(jì)算更加方便。使用Eigen庫(kù)時(shí)，四元素的使用更為方便。

總結(jié)

剛體的空間變換由平移和旋轉(zhuǎn)兩部分組成。平移部分易于理解，旋轉(zhuǎn)部分一般由直觀的3×3矩陣表示。

旋轉(zhuǎn)矩陣有很多特性（正交矩陣、單位矩陣），但其由9個(gè)元素，但只有3個(gè)自由度，故數(shù)學(xué)上的表示是冗余的。

在機(jī)器人領(lǐng)域，使用多的除旋轉(zhuǎn)矩陣外，還有旋轉(zhuǎn)向量、歐拉角、四元素等。

本文的幾乎所有變換都容易實(shí)現(xiàn)，可直接使用三方庫(kù)如Eigen[3]，類似的還要OpenCV等。但如要深入理解，hao自己實(shí)戰(zhàn)。

思考：二維空間剛體變換有3個(gè)自由度，三維有6個(gè)自由度，四維空間呢？n維空間呢？

參考文獻(xiàn)：

1. Multiple View Geometry in Computer Vision (2nd Edition), Richard Hartley and Andrew Zisserman.

2. An Invitationto 3-D Vision From Images to Models, Yi Ma, Jana Kosecka, Stefano Soatto and Shankar Sastry.

3. Eigen, eigen.tuxfamily.org/.

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