為什么要相機(jī)標(biāo)定？你想知道的都在這！

計(jì)算機(jī)視覺的基本任務(wù)之一是從相機(jī)獲取的圖像信息出發(fā)計(jì)算三維空間中物體的幾何信息，并由此重建和識(shí)別物體，而空間物體表面某點(diǎn)的三維幾何位置與其在圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系是由相機(jī)成像的幾何模型決定的，這些幾何模型參數(shù)就是相機(jī)參數(shù)。
 

在大多數(shù)條件下，這些參數(shù)通過實(shí)驗(yàn)與計(jì)算才能得到。無論是在圖像測(cè)量或者機(jī)器視覺應(yīng)用中，相機(jī)參數(shù)的標(biāo)定都是非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，其標(biāo)定結(jié)果的精度及算法的穩(wěn)定性直接影響相機(jī)工作產(chǎn)生結(jié)果的準(zhǔn)確性。
 

那么相機(jī)成像的幾何模型又是什么呢？我們從簡(jiǎn)單的針孔相機(jī)模型說起，首先我們回想一下，初中物理中的小孔成像實(shí)驗(yàn)。
 

用一個(gè)帶有小孔的板遮擋在屏幕與物之間，屏幕上就會(huì)形成物的倒像，我們把這樣的現(xiàn)象叫小孔成像。前后移動(dòng)中間的板，像的大小也會(huì)隨之發(fā)生變化。

小孔成像的模型其實(shí)可以看作是針孔相機(jī)模型的基礎(chǔ)。

如上圖所示，相機(jī)坐標(biāo)系為OC-XC-YC-ZC，OC為相機(jī)光心，ZC軸指向相機(jī)前方。真實(shí)世界中的一個(gè)點(diǎn)P，經(jīng)過小孔OC投影后，落在物理成像平面o'-x-y（也稱像平面坐標(biāo)系）上，稱為像點(diǎn)P'。

相機(jī)坐標(biāo)到圖像坐標(biāo)
為了方便描述，我們之后將把針孔相機(jī)模型對(duì)稱翻轉(zhuǎn)過來，如下圖所示，從數(shù)學(xué)的角度，它們是等價(jià)的。

假設(shè)P在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為[Xc,Yc, Zc]T，P' 為[x,y]T，焦距為f。根據(jù)相似三角形有：
 

圖像坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)
此時(shí)與前面的坐標(biāo)系變換不同，此時(shí)沒有旋轉(zhuǎn)變換，但是坐標(biāo)原點(diǎn)位置不一致，大小不一致，則設(shè)計(jì)伸縮變換及平移變換。

世界坐標(biāo)到相機(jī)坐標(biāo)
從世界坐標(biāo)系變換到相機(jī)坐標(biāo)系屬于剛體變換，只需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移，不會(huì)發(fā)生伸縮變換。

物體之間的坐標(biāo)系變換都可以表示坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換加上平移變換，則世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系也是如此。繞著不同的軸旋轉(zhuǎn)不同的角度得到不同的旋轉(zhuǎn)矩陣。如下：

于是可以得到P點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

到此我們已經(jīng)了解了相機(jī)的幾何模型，這些幾何模型的參數(shù)就是相機(jī)參數(shù)。

鏡頭畸變
對(duì)于徑向畸變，由于它們都是隨著與中心之間的距離增加而增加，因此可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)來描述畸變前后的坐標(biāo)變化：
 

在上式中，對(duì)于畸變較小的圖像中心區(qū)域，畸變糾正主要是k1 起作用；對(duì)于畸變較大的邊緣區(qū)域，主要是k2 起作用。根據(jù)所用鏡頭，可以適當(dāng)使用合適的校正系數(shù)。
對(duì)于切向畸變，可以使用另外的兩個(gè)參數(shù)p1, p2 來進(jìn)行糾正：

綜上，我們一共需要5個(gè)畸變參數(shù)（k1、k2、k3、p1、p2 ）來描述鏡頭畸變。
針孔相機(jī)模型中，只要確定相機(jī)參數(shù)和畸變參數(shù)就可以唯yi的確定針孔相機(jī)模型， 這個(gè)過程就稱為「相機(jī)標(biāo)定」。

一旦相機(jī)結(jié)構(gòu)固定，包括鏡頭結(jié)構(gòu)固定，對(duì)焦距離固定，我們就可以用這些參數(shù)去近似這個(gè)相機(jī)。相機(jī)參數(shù)標(biāo)定結(jié)果的精度會(huì)直接影響相機(jī)工作中產(chǎn)生結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此做好相機(jī)標(biāo)定是后續(xù)工作的重要前提。

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